LC 1760. 袋子里最少数目的球

题目描述

这是 LeetCode 上的 1760. 袋子里最少数目的球 ,难度为 中等

给你一个整数数组 nums,其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次:

  • 选择任意一个袋子,并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中,每个袋子里都有 正整数 个球。
    • 比方说,一个袋子里有 5 个球,你可以把它们分到两个新袋子里,分别有 1 个和 4 个球,或者分别有 2 个和 3 个球。
      你的开销是单个袋子里球数目的 最大值 ,你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

示例 1:

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输入:nums = [9], maxOperations = 2

输出:3

解释:
- 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3] 。
- 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3] 。
装有最多球的袋子里装有 3 个球,所以开销为 3 并返回 3

示例 2:
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输入:nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4

输出:2

解释:
- 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2] 。
装有最多球的袋子里装有 2 个球,所以开销为 2 并返回 2

示例 3:
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输入:nums = [7,17], maxOperations = 2

输出:7

提示:

  • $1 <= nums.length <= 10^5$
  • $1 <= maxOperations, nums[i] <= 10^9$

二分

最小化不超过 max 次划分操作后的单个袋子最大值,我们将其称为「划分值」。

答案具有二段性:若使用 $k \leq \max$ 次划分操作后可达到最小划分值,此时减少划分操作次数,会使得划分值非单调上升。

因此我们可以二分答案,从而将问题进行等价转换:

假设当前二分到的值为 $limit$,我们需要实现一个线性复杂度为 check 函数,判断能否使用不超过 $\max$ 次划分次数,来使得划分值不超过 $limit$

  • 若能满足,说明 $[limit, +\infty]$ 范围的划分值,均能使用不超过 $\max$ 次的实现,此时让 $r = limit$
  • 若不能满足,比 $limit$ 更小的划分值,则更无法在 $\max$ 次操作中满足,说明 $[1, limit]$ 范围划分值均不是答案,此时让 $l = limit + 1$

考虑如何实现 check 函数,从前往后处理每个 $nums[i]$,根据 $nums[i]$ 与当前限制 $limit$ 的大小关系进行分情况讨论:

  • 若 $nums[i] \leq limit$:说明当前袋子不会成为瓶颈,无须消耗划分次数
  • 若 $nums[i] > limit$:此时需要对当前袋子进行划分,直到满足单个袋子球的数量不超过 $limit$ 为止,由于每次划分相当于增加一个袋子,而将 $nums[i]$ 划分成若干个不超过 $limit$ 个球的袋子,需要 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 个袋子,减去原本的一个,共需要增加 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 个新袋子,即划分 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 次

Java 代码:

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class Solution {
public int minimumSize(int[] nums, int max) {
int l = 1, r = 0x3f3f3f3f;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(nums, mid, max)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r;
}
boolean check(int[] nums, int limit, int max) {
int cnt = 0;
for (int x : nums) cnt += Math.ceil(x * 1.0 / limit) - 1;
return cnt <= max;
}
}

C++ 代码:
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class Solution {
public:
int minimumSize(vector<int>& nums, int maxv) {
int l = 1, r = 0x3f3f3f3f;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(nums, mid, maxv)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r;
}
bool check(vector<int>& nums, int limit, int maxv) {
int cnt = 0;
for (int x : nums) cnt += ceil(x * 1.0 / limit) - 1;
return cnt <= maxv;
}
};

Python 代码:
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class Solution:
def minimumSize(self, nums: List[int], maxv: int) -> int:
def check(nums, limit, maxv):
return sum([(x + limit - 1) // limit - 1 for x in nums]) <= maxv
l, r = 1, 0x3f3f3f3f
while l < r:
mid = l + r >> 1
if check(nums, mid, maxv):
r = mid
else:
l = mid + 1
return r

TypeScript 代码:
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function minimumSize(nums: number[], max: number): number {
function check(nums: number[], limit: number, max: number): boolean {
let cnt = 0
for (const x of nums) cnt += Math.ceil(x / limit) - 1
return cnt <= max
}
let l = 1, r = 0x3f3f3f3f
while (l < r) {
const mid = l + r >> 1
if (check(nums, mid, max)) r = mid
else l = mid + 1
}
return r
}

  • 时间复杂度:$O(n \log{M})$,其中 $M = 1e9$ 为值域大小
  • 空间复杂度:$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1758 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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